Question

用水清洗一堆盤子上殘留的洗潔凈，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位的水可洗掉盤子殘留洗潔凈的，用水越多洗掉的洗潔凈也越多，但總還有洗潔凈殘留在盤子上，設用x單位量的水清洗一次以后，盤子上殘留的洗潔凈與本次清洗前殘留的洗潔凈量之比為函數f（x）．
（1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義；
（2）試根據假定寫出函數f（x）應該滿足的條件和具有的性質；
（3）設，現有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，試問用哪種方案清洗后盤子上殘留洗潔凈量比較少？請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（0）=1，表示沒有用水洗時，盤子上洗潔凈的量將保持原樣．
（2）函數f（x）應該滿足的條件和具有的性質是：在[0，+∞）上f（x）單調遞減，且0＜f（x）≤1．
（3）設僅清洗一次，殘留在洗潔凈量為，清洗兩次后，殘留的洗潔凈量為，則于是，當時，清洗兩次后殘留在洗潔凈量較少；當時，兩種清洗方法具有相同的效果；
當時，一次清洗殘留的洗潔凈量較少．
分析：（1）規(guī)定：“f（0）=1”，表示沒有用水洗時，盤子上洗潔凈的量將保持原樣．
（2）根據實際意義確定函數f（x）應該滿足的條件和具有的性質；
（3）先設僅清洗一次，計算出殘留在洗潔凈量，清洗兩次后，殘留的洗潔凈量，再比較它們的大小關系即得．
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、不等式的解示及比較法比較大小等，屬于基礎題．考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數的知識解決實際問題的能力．