Question

設(shè)圓C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，動(dòng)圓C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C₁、圓C₂相交于兩個(gè)定點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+y2=1上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C₁的一條切線，切點(diǎn)為T₁，過點(diǎn)P作圓C₂的一條切線，切點(diǎn)為T₂，問：是否存在點(diǎn)P，使無窮多個(gè)圓C₂，滿足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)動(dòng)圓C₂確定它過的定點(diǎn)，在圓C₁上即可．
（Ⅱ）設(shè)存在，再設(shè)P的坐標(biāo)，求出PT₁，PT₂令其相等，求得關(guān)系式，P適合橢圓方程，可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）將方程x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0化為x²+y²-16y+12+（-2x+2y+4）a=0，
令

x2+y2-16y+12=0 -2x+2y+4=0

得

x=4 y=2

或

x=6 y=4

，
所以圓C₂過定點(diǎn)（4，2）和（6，4），（4分）
將

x=4 y=2

代入x²+y²-10x-6y+32=0，
左邊=16+4-40-12+32=0=右邊，
故點(diǎn)（4，2）在圓C₁上，同理可得點(diǎn)（6，4）也在圓C₁上，
所以圓C₁、圓C₂相交于兩個(gè)定點(diǎn)（4，2）和（6，4）；（6分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則PT1=

x02+y02-10x0-6y0+32

，（8分）PT2=

x02+y02-2ax0-2(8-a)y0+4a+12

，（10分）
PT₁=PT₂即-10x₀-6y₀+32=-2ax₀-2（8-a）y₀+4a+12，
整理得（x₀-y₀-2）（a-5）=0（*）（12分）
存在無窮多個(gè)圓C₂，滿足PT₁=PT₂的充要條件為

x0-y0-2=0 x02 4 +y02=1

有解，
解此方程組得

x0=2 y0=0

或

x0= 6 5 y0=- 4 5

，（14分）
故存在點(diǎn)P，使無窮多個(gè)圓C₂，滿足PT₁=PT₂，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)或(

6

5

，-

4

5

)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查存在性問題，分析問題和解決問題的能力，是難題．