Question

【題目】若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的值域為[﹣3，1]，則b﹣a的最大值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時，f（x）有極大值，f（0）=1，
當(dāng)x=2時，f（x）有極小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，
∵當(dāng)f（x）=1時，x=0或x=3，
當(dāng)f（x）=﹣3時，x=2或x=﹣1，
∴若﹣3≤f（x）≤1，則﹣1≤x≤3．
∴定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的值域為[﹣3，1]，則b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．
所以答案是：4．
【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．