Question

已知函數f(x)=2x+

b

x

+c其中b，c為常數且滿足f（1）=5，f（2）=6．
（1）求b，c的值；
（2）證明：函數f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數；
（3）求函數y=f(x)，x∈[

1

2

，3]的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=5，f（2）=6，列方程組即可解得；
（2）定義法：設x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₂）＜f（x₁）；
（3）根據（2）問結論判斷函數f（x）在[

1

2

，3]上的單調性，由單調性可求函數的最值，從而可得其值域；

解答：解：（1）f(x)=2x+

b

x

+c，
由題意得，

f(1)=5 f(2)=6

⇒

2+b+c=5 4+ b 2 +c=6

，
解得

b=2 c=1

；
（2）設x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，f(x)=2x+

2

x

+1，
則f（x₂）-f（x₁）=（2x₂+

2

x2

+1）-（2x1+

2

x1

+1）
=2（x₂-x₁）+

2(x1-x2)

x2x1

=

2(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

．
因為x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數；
（3）由（2）知函數f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數，易知在（1，+∞）上是增函數，
當x∈[

1

2

，3]時，f（x）_min=f（1）=5，
又f（

1

2

）=6，f（3）=

23

3

，f（3）＞f（

1

2

），所以f(x)max=

23

3

．
所以f（x）的值域為[6，

23

3

]．

點評：本題考查函數的單調性的判定及其應用，屬基礎題，定義研究函數單調性的基本方法．