【題目】某個體戶計劃經(jīng)銷A,B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,當投資額為x(x≥0)萬元時,在經(jīng)銷A,B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投資額為零時收益為零.
(1)求a,b的值;
(2)如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品,請你幫他制定一個資金投入方案,使他能獲得最大利潤.
【答案】(1)a=2,b=1;(2)答案見解析.
【解析】
(1)利用已知條件通過f(0)=0,g(0)=0即可得出a、b的值。
(2)設(shè)投入B商品的資金為x萬元(0<x≤5) 則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5-x)萬元,
設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元,則S(x)=2(5-x)+6ln (x+1)=6ln (x+1)-2x+10,(0<x≤5)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的最值即可。
(1)由投資額為零時收益為零,
可知f(0)=-a+2=0,g(0)=6ln b=0,
解得a=2,b=1.
(2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln (x+1).
設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0<x≤5),
則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5-x)萬元,
設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元,則S(x)=2(5-x)+6ln (x+1)=6ln (x+1)-2x+10(0<x≤5).
S′(x)=-2,令S′(x)=0,得x=2.
當0<x<2時,S′(x)>0,函數(shù)S(x)單調(diào)遞增;
當2<x≤5時,S′(x)<0,函數(shù)S(x)單調(diào)遞減.
所以,當x=2時,函數(shù)S(x)取得最大值,S(x)max=S(2)=6ln 3+6≈12.6萬元.
所以,當投入經(jīng)銷A商品3萬元,B商品2萬元時,他可獲得最大收益,收益的最大值約為12.6萬元.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若分別是橢圓的左、右焦點,過的直線與橢圓交于不同的兩點,求的內(nèi)切圓半徑的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某制瓶廠要制造一批軸截面如圖所示的瓶子,瓶子是按照統(tǒng)一規(guī)格設(shè)計的,瓶體上部為半球體,下部為圓柱體,并保持圓柱體的容積為3π.設(shè)圓柱體的底面半徑為x,圓柱體的高為h,瓶體的表面積為S.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何設(shè)計瓶子的尺寸(不考慮瓶壁的厚度),可以使表面積S最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上的一點,已知P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(1+cosωx,1), =(1,a+ sinωx)(ω為常數(shù)且ω>0),函數(shù)f(x)= 在R上的最大值為2.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移 個單位,可得函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0, ]上為增函數(shù),求ω的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在8件獲獎作品中,有3件一等獎,有5件二等獎,從這8件作品中任取3件.
(1)求取出的3件作品中,一等獎多于二等獎的概率;
(2)設(shè)X為取出的3件作品中一等獎的件數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)市場調(diào)查,某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計),第t天(1≤t≤30,t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(單位:萬人)近似地滿足f(t)=4+ ,而人均日消費俄g(t)(單位:元)近似地滿足g(t)= .
(1)試求所有游客在該城市旅游的日消費總額W(t)(單位:萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N*)的函數(shù)表達式;
(2)求所有游客在該城市旅游的日消費總額的最小值.
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