如圖所示,圓柱的高為2,PA是圓柱的母線,ABCD為矩形,AB=2,BC=4,E、F、G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求證:PB//面EFG;
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得D到平面PAM的距離為2?若存在,求出BM;若不存在,請說明理由.
證明(1)∵PA是圓柱的母線,∴PA圓柱的底面.1分 ∵CD圓柱的底面,∴PACD 又∵ABCD為矩形,∴CDAD 而ADPA=A,∴CD平面PAD;3分 又CD平面PDC,∴平面PDC平面PAD.4分 (2)取AB中點(diǎn)H,連結(jié)GH,HE, ∵E,F(xiàn),G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn), ∴GH∥AD∥EF, ∴E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面.6分 又H為AB中點(diǎn),∴EH∥PB.7分 又面EFG,平面EFG, ∴PB∥面EFG.9分 (3)假設(shè)在BC上存在一點(diǎn)M,使得點(diǎn)D到平面PAM的距離為2,則以PAM為底D為頂點(diǎn)的三棱錐的高為2,連結(jié)AM,則AM==, 由(2)知PAAM,∴SPAM= ∴VD-PAM===;11分 ∵ ∴;12分 ∵VD-PAM= ∴=,解得: ∵ ∴在BC上存在一點(diǎn)M,當(dāng)使得點(diǎn)D到平面PAM的距離為2;14分 |
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