Question

（2012•泰安二模）下列命題中的真命題是（　�。�

• A．?x∈R，sinx+cosx=

  3

  2

• B．?x∈（0，π），sinx＞cosx
• C．?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
• D．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1

Answer 1

分析：選項(xiàng)A應(yīng)把sinx+cosx化積求值域；B選項(xiàng)可取特值排除，C命題可用冪函數(shù)的單調(diào)性；D分析較為困難，可建立輔助函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性解決．

解答：解：由sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，最大值為

2

小于

3

2

 x不存在∴A不正確；
B選項(xiàng)（特值）可取x=

π

4

，sin

π

4

=cos

π

4

，∴不是全部都符合，排除B．
C選項(xiàng)，?x∈（-∞，0），x一旦選定就是一個(gè)具體值，運(yùn)用冪函數(shù)在冪指數(shù)小于0時(shí)為減函數(shù)，都有2^x＞3^x，排除C．
D選項(xiàng)分析：可令輔助函數(shù) y=e^x-x-1，y′=e^x-1，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒大于0，∴函數(shù)f（x）=e^x-x-1在0，∞）上位增函數(shù)，∴f（x）＞0，即e^x-x-1＞0，即e^x＞x+1．得到結(jié)論正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于全稱命題和特稱命題排除法是解決的常用方法，全稱可以舉反例驗(yàn)證，或者結(jié)合已知條件證明出來(lái)