Question

求滿足下列關(guān)系式組的正整數(shù)解組的個數(shù)．

Answer 1

131

解析:

[解]  令，由條件知，方程化為

，即．       （1）

因，故，從而．

設(shè)．因此（1）化為

．                      （2）          

下分為奇偶討論，

（ⅰ）當(dāng)為奇數(shù)時，由（2）知為奇數(shù)．

令，，代入（2）得

．      （3）

（3）式明顯無整數(shù)解．故當(dāng)為奇數(shù)時，原方程無正整數(shù)解．             

（ⅱ）當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，由方程（2）知也為偶數(shù)．從而可設(shè)，代入（2）化簡得

        ．                      （4）

由（4）式有，故，從而可設(shè)，則（4）可化為，

        ．　　　　　　　　　　　（5）

因為整數(shù)，故．                                  

又，因此

   ，得，

   ．

因此，對給定的，解的個數(shù)恰是滿足條件的的正因數(shù)的個數(shù)．因不是完全平方數(shù)，從而為的正因數(shù)的個數(shù)的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

由題設(shè)條件，．而

25以內(nèi)有質(zhì)數(shù)9個：2，3，5，7，11，13，17，19，23．將25以內(nèi)的數(shù)分為以下八組：：

，

，

，

，

，

，

，

，

從而易知

，

，

，

，

，

，

，

將以上數(shù)相加，共131個．因此解的個數(shù)共131．