Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明隨的增大而減小.

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）的取值范圍是.證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）導(dǎo)數(shù)大于0，則為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0則為減函數(shù).將求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，對恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由得：，或， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），得.顯然是的極大值點(diǎn)，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，必須>0, 即，從而得的取值范圍是.是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，則，，，.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 對于任意的，方程都有兩個(gè)解，這兩個(gè)解就是.如下圖：

設(shè)，設(shè)，則必有，其中；，其中.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.044.png">在上單調(diào)遞增，故由，即，可得；

類似可得，由，則，所以.這說明隨著的增大而減小.

試題解析：（1） ∵，所以定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.055.png">且， 1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.007.png">,

（1）當(dāng)，又，即時(shí)，對恒成立，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為； 2分

（2）當(dāng)，又，即時(shí)，

由得：，或， 3分

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，； 4分

（2）當(dāng)時(shí)，由，得.

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		1
	＋	0	－
	↗		↘

 

這時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 5分

當(dāng)x大于0且無限趨近于0時(shí)，的值無限趨近于；

當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，的值無限趨近于， 6分

所以有兩個(gè)零點(diǎn)，須滿足>0，即， 7分

所以的取值范圍是. 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.022.png">是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即，，

則，， 9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.077.png">且，則得，.

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 10分

對于任意的，設(shè)，

故，其中；

，其中. 11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602432873356627_DA/SYS201502060602432873356627_DA.044.png">在上單調(diào)遞增，故由，即，

可得；類似可得， 12分

由，則，所以. 13分

所以，隨著的增大而減小.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與不等式.