Question

（2011•徐匯區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，An為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N^*）的點(diǎn)，向量

OAn

與向量

i

=（1，0）的夾角為θ_n，則滿足tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

的最大整數(shù)n的值為

3

．

Answer 1

分析：由題意，可設(shè)An(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，得到

OAn

=(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，再由向量

OAn

與向量

i

=（1，0）的夾角為θ_n，解出tanθ_n的關(guān)于n的表達(dá)式，代入tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

解出n所滿足的條件，判斷出符合條件的最大整數(shù)n的值

解答：解：由題意An(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，

OAn

=(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)
又向量

OAn

與向量

i

=（1，0）的夾角為θ_n，
∴tanθ_n=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+

1

n

-

1

n+1

又tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

∴

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+1-

1

n+1

＜

5

3

∴2-(

1

2

)n-

1

n+1

＜

5

3

∴(

1

2

)n+

1

n+1

＞

1

3

，令n=1，2，3，4，分別代入驗(yàn)證知，n可取的最大值為3

點(diǎn)評：本題考查了由向量求夾角，數(shù)列的求和，不等式，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題得出tanθ_n的表達(dá)式，熟練掌握數(shù)列求和的技巧也是解題的關(guān)鍵