Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

1

bnbn+2

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），從而得證；
（2）先求出b_n=n，進(jìn)而得到

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

，利用裂項相消法即可求出S_n．

解答：（1）證明：因為a_n=2a_n-1+1（n≥2），所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
所以數(shù)列{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）因為數(shù)列{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比為2的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，所以b_n=log₂（a_n+1）=n．
所以

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
所以S_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4n2+12n+8

．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義、裂項相消法求數(shù)列的前n項和，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．