Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；

（2）若函數(shù)的最大值是，求的值；

（3）已知，若存在兩個不同的正數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域為時，的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）時寫出函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)真數(shù)范圍求解函數(shù)值域即可。（2）設(shè)換元真數(shù)部分為關(guān)于的一元二次函數(shù)，又有最大值，所以開口只能向下，即，在對稱軸處取得最大值，即可求出的范圍。（3）較易判斷為增函數(shù)，函數(shù)的定義域為時，的值域為可理解為函數(shù)與有兩個交點正數(shù)交點，，另外將進(jìn)行換元即可轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一個一元二次函數(shù)求解。

（1）時，

因為，所以

所以此時的值域是。

（2）設(shè)，則，若此時，開口向上沒有最大值。由第一問可知）時也不滿足，所以開口只能向下，即且此時對稱軸。

當(dāng)時，最大值在對稱軸處取得，

即

解出 或（舍）

所以。

（3）當(dāng)時，設(shè)，設(shè)真數(shù)為，此時對稱軸，所以當(dāng)時m為增函數(shù)，即為增函數(shù)。

所以函數(shù)的定義域為時，的值域為，可理解為函數(shù)與有兩個交點正數(shù)交點，，

即有兩個正根。

即，設(shè)

所以

即有兩個大于1的根。

所以此時只需即可，即

又，所以。