Question

已知f(x)=2sin(x-

π

3

)cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時相應的x的值；
（2）若函數(shù)y=f（2x）-a在區(qū)間[0，

π

4

]上恰有兩上零點x₁，x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：利用三角公式化簡函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

）
（1）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，把2x-

π

3

看成y=sinx中的“x“分別求解
（2）代入可得y=2sin（4x-

π

3

），換元 t=4x-

π

3

，從而可得 y=2sint，t∈[-

π

3

，

2π

3

]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求

解答：解（1）cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

=sin(2x-

2π

3

)+

3

[1+cos(2x-

2π

3

)]-

3

═sin（2x-120°）+

3

cos（2x-120°）=2sin（2x-60°）
（5分）
∴f（x）的最大值為2，此時2x-

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

5π

12

+kπ，k∈Z（7分）
（2）f(2x)=2sin(4x-

π

3

)
令t=4x-

π

3

，∵x∈[0，

π

4

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]
設(shè)t₁，t₂是函數(shù)y=2sint-a的兩個相應零點（即t1=4x1-

π

3

，t2=4x2-

π

3

）
由y=2sint圖象性質(zhì)知t₁+t₂=π，即4x1-

π

3

+4x2-

π

3

=π（10分）
∴x1+x2=

π

4

+

π

6

，tan(x1+x2)=2+

3

（14分）

點評：本題綜合考查了兩角和與差的三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的最值（最值的求解一般是整體思想），利用正弦函數(shù)的圖象求解值的問題，體現(xiàn)了函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想在解題中的運用．