Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，

x	﹣1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1

下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）的值域為[1，2]；
②如果當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值為2，那么t的最大值為4；
③函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
④當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）﹣a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵由導函數(shù)的圖象知，f（x）在[﹣1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，4）遞增，在（4，5]遞減，
結(jié)合圖象函數(shù)的最小值是1，最大值是2，故函數(shù)f（x）的值域為[1，2]，①正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當x=0或x=4時，函數(shù)取最大值2，若x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即②錯誤；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數(shù)，即③正確；
當1.5＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點，故當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）﹣a有2，3，4個零點，最多有4個零點，故④正確；
所以答案是：①③④．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．