【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+x2+mx在x=1處有極小值,
g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣2),(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣2,1);(2)
【解析】試題分析:(1)由極值定義得f′(1)=6+m=0,解得m值,再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,確定單調(diào)區(qū)間(2)先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式:設(shè)0<x1<x2,g(x1)﹣x1<g(x2)﹣x2.再構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)﹣x,轉(zhuǎn)化為h(x)在(0,+∞)為增函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)的條件,即得a的取值范圍
試題解析:解:(1)∵f(x)=x3+x2+mx,∴f′(x)=3x2+3x+m,
∵f(x)=x3+x2+mx在x=1處有極小值,∴f′(1)=6+m=0,得m=﹣6.
∴f(x)=x3+x2﹣6x,則f′(x)=3(x2+x﹣2)=3(x﹣1)(x+2).
∴當(dāng)x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣2,1)時(shí),f′(x)<0,
則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣2),(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣2,1);
(2)g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx
=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立,
不妨設(shè)0<x1<x2,只要g(x1)﹣g(x2)<x1﹣x2,
即:g(x1)﹣x1<g(x2)﹣x2.
令h(x)=g(x)﹣x,只要 h(x)在(0,+∞)為增函數(shù)即可.
又函數(shù)h(x)=g(x)﹣x=,
則h′(x)==.
要使h'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2a≤2x3+3x2﹣12x.
令t(x)=2x3+3x2﹣12x,則t′(x)=6x2+6x﹣12=6(x+2)(x﹣1).
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),t(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),t(x)單調(diào)遞增,
則t(x)min=t(1)=﹣7.
∴2a≤﹣7,得a.
∴存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】格紙中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線部分是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是
A. 3 B. 6 C. D. 5
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【題目】已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),f(2)=1,且對(duì)于任意a,b∈(0,+∞), 恒成立. (I)求f(8);
(II)求不等式 的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計(jì) |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(表示相應(yīng)事件的概率);
①;
②;
③
評(píng)判規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級(jí)為甲;僅滿足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙;若僅滿足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部不滿足,則等級(jí)為丁,試判斷設(shè)備的性能等級(jí).
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.
①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別作直線, 交橢圓于與,且.
(1)求證:當(dāng)直線的斜率與直線的斜率都存在時(shí), 為定值;
(2)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)定義在[﹣2,2]上的奇函數(shù)f(x)=x5+x3+b
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,且f(m)+f(m﹣1)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】五邊形是由一個(gè)梯形與一個(gè)矩形組成的,如圖甲所示,B為AC的中點(diǎn), . 先沿著虛線將五邊形折成直二面角,如圖乙所示.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求圖乙中的多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離為.
(1)求函數(shù)的解析式,并求出的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,設(shè), , 為的三個(gè)內(nèi)角,若,且向量, ,求的取值范圍.
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【題目】函數(shù)f(x)=log2 log2 ,x∈(2,8]的值域?yàn)椋?/span> )
A.[0,2]
B.[﹣ ,2]
C.(0,2]
D.(﹣ ,2]
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