Question

已知直線l分別與x軸、y軸交于A（a，0），B（0，b）點(diǎn)，且和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，（其中a＞2，b＞2）．
（1）求a，b應(yīng)滿足什么條件；      
（2）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，根據(jù)直線和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出結(jié)論；
（2）由（1），結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用基本不等式，求線段AB長度的最小值．

解答：解：（1）由題意，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，
圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-1）²=1．
∵直線和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，
∴

| 1 a + 1 b -1|

1 a2 + 1 b2

=1，
化簡可得ab-2a-2b+2=0；
（2）ab-2a-2b+2=0可化為（a-2）（b-2）=2，
設(shè)a-2=m，b-2=n，則a=2+m，b=2+n，m＞0，n＞0，mn=2．
|AB|=

a2+b2

=

(2+m)2+(2+n)2

=

8+m2+n2+4(m+n)

≥

8+2mm+8 mn

=

12+8 2

=2+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)線段AB長度的最小值為2+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．