Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率

2

2

，直線l：x-y+

2

=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)N（-

1

2

，-l）．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

2

2

得

c

a

=

2

2

，由直線l與圓相切得

2

12+(-1)2

=b，再由b²+c²=a²即可解得a，b值；
（Ⅱ）要證明直線AB過(guò)定點(diǎn)N（-

1

2

，-l），可證

NA

∥

NB

．設(shè)MA：y=k₁x+1，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可表示點(diǎn)A坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)B坐標(biāo)，由向量共線的條件可證

NA

∥

NB

；

解答：解：（I）由已知得：

c a = 2 2 2 12+(-1)2 =b b2+c2=a2

，解得

a= 2 b=1

，
故橢圓方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），設(shè)MA：y=k₁x+1，
由

x2 2 +y2=1 y=k1x+1

得：(1+2k12)x2+4k1x=0，
則xA=xA+0=-

4k1

1+2k12

，所以yA=k1xA+1=

1-2k12

1+2k12

，
所以A（-

4k1

1+2k12

，

1-2k12

1+2k12

），同理可得B（-

4k2

1+2k12

，

1-2k22

1+2k22

），
所以

NA

=(

1

2

-

4k1

1+2k12

，1+

1-2k12

1+2k12

)=（

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

，

2

1+2k12

），

NB

=(

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

，

2

1+2k22

)，
所以

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

•

2

1+2k22

-

2

1+2k12

•

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

=

2(k12-k22)+8(k2-k1)

(1+2k12)(1+2k22)

=

2(k1-k2)(k1+k2-4)

(1+2k12)(1+2k22)

=0，
故

NA

∥

NB

，所以A、B、N三點(diǎn)共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)N（-

1

2

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關(guān)系，考查向量在解析幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析轉(zhuǎn)化能力，考查轉(zhuǎn)化思想．