Question

某地區(qū)位于沙漠邊緣地帶，到2010年年底該地區(qū)的綠化率只有30%，計劃從2011年開始加大沙漠化改造的力度，每年原來沙漠面積的16%將被植樹改造為綠洲，但同時原有綠洲面積的4%還會被沙漠化．設(shè)該地區(qū)的面積為1，2010年年底綠洲面積為a₁=

3

10

，經(jīng)過一年綠洲面積為a₂，…，經(jīng)過n年綠洲面積為a_n+1，
（1）求經(jīng)過n年綠洲面積a_n+1的通項公式；
（2）至少需要經(jīng)過多少年努力，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過60%？（取lg 2=0.3）

Answer 1

分析：（1）由題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化剩下的面積，另一部分是新植樹綠洲化的面積，由此可得數(shù)列遞推式，進(jìn)而可求數(shù)列的通項；
（2）利用（1）的結(jié)論建立不等式，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)2010年年底沙漠面積為b₁，經(jīng)過n年治理后沙漠面積為b_n+1，則a_n+b_n=1．
依題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化剩下的面積，a_n-4%a_n=96%a_n，另一部分是新植樹綠洲化的面積16%b_n，
于是a_n+1=96%a_n+16%b_n=96%a_n+16%（1-a_n）=80%a_n+16%=

4

5

a_n+

4

25

．
由于a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

兩邊減去

4

5

得：a_n+1-

4

5

=

4

5

（a_n-

4

5

）
又a₁-

4

5

=-

1

2

 
所以{a_n-

4

5

}是以-

1

2

為首項，

4

5

為公比的等比數(shù)列．
所以a_n+1=

4

5

-

1

2

×(

4

5

)n；
（2）依題意，

4

5

-

1

2

×(

4

5

)n＞60%，∴(

4

5

)n＜

2

5

，
兩邊取對數(shù)得n＞log

4

5

2

5

=

lg2-lg5

2lg2-lg5

=

1-2lg2

1-3lg2

=

1-0.6

1-0.9

=4．
故至少需要5年才能達(dá)到目標(biāo)．

點評：本題考查利用數(shù)列知識解決實際問題，考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．