Question

【題目】是個(gè)循環(huán)小數(shù)，表示的小數(shù)點(diǎn)后第位開(kāi)始，連續(xù)位上的數(shù)字之積．證明存在自然數(shù)、，對(duì)任意的、，均有．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

不妨設(shè)為純循環(huán)小數(shù)，．，的循環(huán)節(jié)為．即，，2，…．

如果某個(gè)，可取，所以還假設(shè)，，．

作代換，，則．

以下證明，一定存在自然數(shù)，對(duì)任意的，均有．

鑒于，證明只需要對(duì)來(lái)進(jìn)行．

如果，，…，這個(gè)乘積均不大于1，那么，可取．

如果它們之中至少有一個(gè)大于1，不妨設(shè)是其中最大者，那么，

，，…，．

這是因?yàn)�，如果其中有一個(gè)大于1，那么把它乘到上去，就得到比更大的數(shù)，這與指標(biāo)的選取矛盾．

另外，，，…，．

這是因?yàn)�，�?/span>的取法可知，上述各式左邊除去最初個(gè)因子，其余各因子之值均不小于．

這樣，我們證明了一定存在自然數(shù)，對(duì)任意的，均有，

即．從而，．

同理可證一定存在自然數(shù)，對(duì)任意的，有，即．