如圖,山頂有一座石塔BC,已知石塔的高度為a.
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(Ⅰ)若以B,C為觀測點,在塔頂B處測得地面上一點A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β,用a,α,β表示山的高度h;
(Ⅱ)若將觀測點選在地面的直線AD上,其中D是塔頂B在地面上的射影.已知石塔高度a=20,當(dāng)觀測點E在AD上滿足DE=60
10
時看BC的視角(即∠BEC)最大,求山的高度h.
分析:(1)根據(jù)題意,在△ABC中算出∠BAC=α-β、∠BCA=90°+β,利用正弦定理加以計算,即可得到用a,α,β表示山的高度h的式子;
(2)設(shè)DE=x,利用正切的差角公式與三角函數(shù)的定義列式,然后根據(jù)基本不等式,可算出當(dāng)x=
h(h+20)
時,∠BEC最大,進(jìn)而算出此時的h=180,即為所求山的高度.
解答:解:(1)根據(jù)題意,可得
在△ABC中,∠BAC=α-β,∠BCA=90°+β,
由正弦定理,可得
BC
sin∠BAC
=
AB
sin∠BCA

AB=
asin(90°+β)
sin(α-β)
=
acosβ
sin(α-β)

h=AB•sinα-a=
acosβsinα
sin(α-β)
-a
=
a•cosαsinβ
sin(α-β)
,即為所求表示式;
(2)設(shè)DE=x,
tan∠BED=
h+20
x
,tan∠CED=
h
x

tan∠BEC=
tan∠BED-tan∠CED
1+tan∠BED•tan∠CED

=
20
x
1+
(h+20)h
x2
=
20
x+
(h+20)h
x
10
h(h+20)

當(dāng)且僅當(dāng)x=
(h+20)h
x
x=
h(h+20)
時,tan∠BEC最大,從而∠BEC最大
結(jié)合題意,可得
h(h+20)
=60
10
,解之得h=180,即為所求山的高度.
點評:本題給出實際應(yīng)用問題,求山高h(yuǎn)的表示式并依此求視角最大時的山高h(yuǎn),著重考查了基本不等式、正弦定理與兩角差正切公式等知識,屬于中檔題.
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如圖,山頂有一座石塔,已知石塔的高度為.

(Ⅰ)若以為觀測點,在塔頂處測得地面上一點的俯角為,在塔底處測得處的俯角為,用表示山的高度;

(Ⅱ)若將觀測點選在地面的直線上,其中是塔頂在地面上的射影.已知石塔高度,當(dāng)觀測點上滿足時看的視角(即)最大,求山的高度.

 

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