Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明：AB⊥AC₁，只要證明AB垂直平面ACC₁A₁內(nèi)的兩條相交直線AC和A₁A，即可證明AB⊥平面ACC₁A₁，從而證明AB⊥AC₁．
（Ⅱ）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接DN，A₁D，只要證明A₁D∥MN，即可證明MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）法一：作出二面角M-AN-B的平面角，通過解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積，求解二面角M-AN-B的余弦值．

解答：解法一：
（Ⅰ）證明：因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，
所以AC是AC₁在平面ABC內(nèi)的射影，（2分）
由條件可知AB⊥AC，
所以AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，
連接DN，A₁D．

因?yàn)镈，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
所以DN平行等于

1

2

AB．
又A₁M=

1

2

A₁B₁，A₁B_{1平行等于}AB，
所以A₁M平行等于DN．
所以四邊形A₁DNM是平行四邊形．
所以A₁D∥MN．（7分）
因?yàn)锳₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接MH，
所以MH∥BB₁．

因?yàn)锽B₁⊥底面ABC，
所以MH⊥底面ABC．
在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)H做HG⊥AN，垂足為G．
連接MG，則MG⊥AN．
所以∠MGH是二面角M-AN-B的平面角．（12分）
因?yàn)镸H=BB₁=2，
由△AGH∽△BAC，得HG=

1

5

．
所以MG=

MH2+HG2

=

21

5

．
所以cos∠MGH=

HG

MG

=

21

21

．
二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

．（14分）
解法二：
依條件可知AB，AC，AA₁兩兩垂直．
如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．

根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(-

1

2

，1，0)．
證明：（Ⅰ）：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AB

=(0，2，0)，

AC1

=(-1，0，2)，
所以

AB

•

AC1

=0×（-1）+2×0+0×2=0．（2分）
所以

AB

⊥

AC1

．
即AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

MN

=(-

1

2

，0，-2)，

AB

=(0，2，0)是平面ACC₁A₁的一個法向量，
且

MN

•

AB

=-

1

2

×0+0×2-2×0=0，所以

MN

⊥

AB

．（7分）
又MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）設(shè)n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AM

=(0，1，2)，

AN

=(-

1

2

，1，0)，
由

AM •n=0 AN •n=0

得

0+y+2z=0 - 1 2 x+y=0.

解得平面AMN的一個法向量n=（4，2，-1）．
由已知，平面ABC的一個法向量為m=（0，0，-1）．（12分）
設(shè)二面角M-AN-B的大小為θ，則cosθ=

n•m

|n||m|

=

1

21 ×1

=

21

21

．
二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與直線的垂直，直線與平面的平行，二面角的知識，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．