Question

（2013•�？诙�模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)的參數(shù)方程是：

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

（為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)C₁交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（2，1），若

AB

=3

MB

，求直線(xiàn)的普通方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（Ⅱ）設(shè)A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C₁的方程，根據(jù)t的幾何意義即可求出．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ
∴曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程是x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）
由已知|

MA

|=2|

MB

|，注意到M（2，1）是直線(xiàn)參數(shù)方程恒過(guò)的定點(diǎn)，
∴t_A=-2t_B①
聯(lián)立直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，（6分）
∴t_A+t_B=-2sinθ，t_A•t_B=-3，與①聯(lián)立得：sinθ=

6

4

，cosθ=±

10

4

∴直線(xiàn)的參數(shù)方程為

x=2+ 10 4 t y=1+ 6 4 t

，（為參數(shù)）或

x=2- 10 4 t y=1+ 6 4 t

，（為參數(shù)）．（8分）
消去參數(shù)得的普通方程為y=

15

5

x-

2 15

5

+1或y=-

15

5

x+

2 15

5

+1（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)方程、及參數(shù)方程的互化，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．