Question

曲線C是點M到定點F（2，0）的距離與到直線x=3距離之比為

6

3

的軌跡．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F，F(xiàn)'為曲線C的兩個焦點，直線l過點F且與曲線C交于A，B兩點，求|F'A|•|F'B|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)曲線上任一點M（x，y），則由題意得：

(x-2)2+y2

|x-3|

=

6

3

，由此能得到曲線方程．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時，A(2，

6

3

)，B(2，-

6

3

)，|F′A|•|F′B|=

42+( 6 3 )2

•

42+(- 6 3 )2

=

50

3

．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2），點A，B的坐標(biāo)是方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，從而有（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合橢圓的離心率和橢圓的左焦半徑公式得到|F'A|•|F'B|的最大值．

解答：解：（1）設(shè)曲線上任一點M（x，y），則由題意得：

(x-2)2+y2

|x-3|

=

6

3

化簡得：曲線方程為

x2

6

+

y2

2

=1…（6分）
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時，此時A(2，

6

3

)，B(2，-

6

3

)，|F′A|•|F′B|=

42+( 6 3 )2

•

42+(- 6 3 )2

=

50

3

…．（10分）
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2）
點A，B的坐標(biāo)是方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，從而有：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0
由韋達(dá)定理：x1+x2=

12k2

3k2+1

，x1x2=

12k2-6

3k2+1

，
又橢圓的離心率e=

6

3

，由橢圓的左焦半徑公式得|F′A|•|F′B|=(

6

+

6

3

x1)(

6

+

6

3

x2)=

2

3

x1x2+2(x1+x2)+6=

2

3

×

12k2-6

3k2+1

+2×

12k2

3k2+1

+6=

50

3

-

44

3(3k2+1)

＜

50

3

，綜上，|F'A|•|F'B|的最大值是

50

3

．…（16分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要合理運用韋達(dá)定理、焦半徑公式，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．