Question

       對于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點(diǎn)  已知函數(shù)f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點(diǎn)；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

Answer 1

解析:

（1）當(dāng)a=1,b=–2時，f(x)=x²–x–3，

由題意可知x=x²–x–3，得x₁=–1,x₂=3.

故當(dāng)a=1,b=–2時，f(x)的兩個不動點(diǎn)為–1,3.

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個不動點(diǎn)，

∴x=ax²+(b+1)x+(b–1)，

即ax²+bx+(b–1)=0恒有兩相異實根

∴Δ=b²–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.

于是Δ′=(4a)²–16a＜0解得0＜a＜1

故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)時，0＜a＜1.

（3）由題意A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B關(guān)于y=kx+對稱.

∴k=–1. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b–1)=0的兩個根.

∴x′=y′=，

又點(diǎn)M在直線上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2當(dāng)且僅當(dāng)2a=即a=∈(0,1)時取等號，

故b≥–，得b的最小值–.