Question

如圖，在邊長為1的等邊三角形中，分別是邊上的點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將沿折起，得到如圖所示的三棱錐，其中．

(1) 證明：//平面；

(2) 證明：平面；

(3) 當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析 (2) 見解析(3)

【解析】（1）在等邊三角形中， 

,在折疊后的三棱錐中

也成立， ,平面，

平面，平面；

（2）在等邊三角形中，是的中點(diǎn)，所以①，.

 在三棱錐中，，②

；

（3）由（1）可知，結(jié)合（2）可得.

解決折疊問題，需注意一下兩點(diǎn)：1.一定要關(guān)注“變量”和“不變量”在證明和計(jì)算中的應(yīng)用:折疊時(shí)位于棱同側(cè)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變;位于棱兩側(cè)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系變；2.折前折后的圖形結(jié)合起來使用.本題第一問關(guān)鍵是利用相似比在折疊完以后沒有變化，達(dá)到證明目的；第二問中借助勾股定理和不變的垂直關(guān)系，借助線面垂直的判斷定理證明；第三問利用體積轉(zhuǎn)化，充分借助第一問的平行關(guān)系和第二問的垂直關(guān)系進(jìn)行求解.

【考點(diǎn)定位】線面平行于垂直、幾何體的體積問題.