Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，對任何正整數(shù)n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1．
（1）若數(shù)列{b_n}是首項為1和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定數(shù)列{b_n}的通項，利用再寫一式，兩式相減的方法，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）確定b_n的表達式，利用要使

bn+1

bn

是一個與n無關(guān)的常數(shù)，當且僅當a₁=d≠0，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=2n-1，…（2分）
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1（n≥2），
兩式相減可得an•bn=n•2n-1，即a_n=n．…（5分）
當n=1時，a₁=1，從而對一切n∈N^*，都有a_n=n．…（6分）
所以數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=n．…（7分）
（2）法1：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，an•bn=n•2n-1，∴bn=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2）
∴bn=

n•2n-1

(a1-d)+nd

=

2n-1

a1-d n +d

…（11分）                                             
要使

bn+1

bn

是一個與n無關(guān)的常數(shù)，當且僅當a₁=d≠0…（12分）
即：當?shù)炔顢?shù)列{a_n}的滿足a₁=d≠0時，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其通項公式是bn=

2n-1

d

；…（13分）
當?shù)炔顢?shù)列{a_n}的滿足a₁≠d時，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．            …（14分）
法2：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，an•bn=n•2n-1，即bn=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2），若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
則

bn+1

bn

=

2[dn2+a1n+(a1-d)]

dn2+a1n

…（11分）
要使上述比值是一個與n無關(guān)的常數(shù)，須且只需a₁=d≠0．…（12分）
即：當?shù)炔顢?shù)列{a_n}的滿足a₁=d≠0時，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其通項公式是bn=

2n-1

d

，…（13分）
當?shù)炔顢?shù)列{a_n}的滿足a₁≠d時，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．          …（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的確定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．