Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)二面角的正切值為，，為線段上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或..

【解析】試題分析：（1）證明線面平行只需在面內(nèi)找一線與已知線平行即可，通常構(gòu)建三角形中位線或者平行四邊形，根據(jù)題意我們可以取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，∴，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.進(jìn)而得出結(jié)論（2）先求出二面角，過(guò)作于，連接，則即為二面角的平面角.然后建立空間直角坐標(biāo)系求出面ABD的法向量和斜線CE的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角公式得出等式即可求解.

解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

∵側(cè)面為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，

∴，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：過(guò)作于，連接，

則即為二面角的平面角.

∵，，∴.

又，，∴.

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，

則，，設(shè)平面的法向量，

則，即，令，得.

設(shè)，∵，∴ ，

∴與平面所成角的正弦值為 ，

∴，∴或，即或.