Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將的解析式代入曲線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義及垂直直線的斜率關(guān)系即可求得的值；

（2）將代入導(dǎo)函數(shù)，并代入不等式中化簡變形，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，對(duì)分類討論即可確定滿足題意的的取值范圍.

（1）由，

得.在處的切線斜率為，

直線的斜率為，

由垂直直線的斜率關(guān)系可知，

解得.

（2），

則，

不等式等價(jià)于.

整理得.

構(gòu)造函數(shù)，

由題意知，在上存在一點(diǎn)，使得.

.

因?yàn)?/span>，所以，令，得.

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.只需，解得.

②當(dāng)即時(shí)，在處取最小值.

令即，

可得.

令，即，不等式（*）可化為：

因?yàn)?/span>，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

只需，解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.