Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當a＜0時，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）當a=0時，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的整數(shù)k的所有取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，已知e^x＞0，不等式f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為x(x+

1

a

)＜0，根據(jù)a＜0，求出不等式的解集；
（Ⅱ）因為a=0時，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解，等價于方程ex-

2

x

-1=0有解，利用導數(shù)研究其單調(diào)性利用零點定理判斷其根的個數(shù)；

解答：解：（Ⅰ）因為e^x＞0，所以f（x）＞0，即ax²+x＞0．
又因為a＜0，所以不等式可化為x(x+

1

a

)＜0
所以不等式f（x）＞0的解集為（0，-

1

a

）．     …（4分）
（Ⅱ）當a=0時，方程f（x）=x+2，即xe^x=x+2，由于e^x＞0，
所以x=0不是方程的解，所以原方程等價于ex-

2

x

-1=0
令h(x)=ex-

2

x

-1，因為h/(x)=ex+

2

x2

＞0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以函數(shù)h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h(-3)=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上分別有一個零點，
即方程f（x）=x+2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，
故k=1或k=-3．    …（12分）

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，是一道中檔題；