Question

已知橢圓C₁:,拋物線C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

(Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）m＝0， .此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

（II）滿足條件的、存在，且或，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上.所以，即.此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

（II）： 假設存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為．

由消去得…①

設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

　　由　消去y得.         ………………②

因為C₂的焦點在直線上，

所以，即.代入②有.

即.                     　　 …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而＝. 解得　　　……………………④

又AB過C_1，C₂的焦點，所以

，

則   …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因為C₂的焦點在直線上，所以.

　或．

由上知，滿足條件的、存在，且或，．

考點：本題主要考查直線方程，橢圓及拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題解答過程中，主要運用了拋物線的幾何性質(zhì)。結(jié)合拋物線的焦半徑公式，建立了k的方程。