Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第三象限．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若S_△AOB=2，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的定義y=

k

x

（k≠0）即可得出；
（2）由直線y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x即可；
（3）聯(lián)立

y=kx+2k y= 4 x

，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用2=S△AOB=

1

2

|OB|•yA，解得k即可；
（4）存在，設(shè)P（x，0）．分類討論：①若|OA|=|OP|，②若|AO|=|AP|，③若|PA|=|PO|，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答：解：（1）由雙曲線y=（m+5）x^2m+1，利用雙曲線的解析式和圖象可得

2m+1=-1 m+5＞0

，解得m=-1，
∴雙曲線的方程為y=

4

x

．
（2）由直線y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x=-2，∴B點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0）；
（3）聯(lián)立

y=kx+2k y= 4 x

，解得x=

k2+4k -k

k

，（∵x_A＞0），∴yA=

4k

k2+4k -k

，
∴2=S△AOB=

1

2

|OB|•yA，即2=

1

2

×2×

4k

k2+4k -k

，解得k=

1

2

，
∴x_A=2，y_A=2，∴A（2，2）．
（4）存在，設(shè)P（x，0）．
①若|OA|=|OP|，則

22+22

=|x|，解得x=±2

2

；
②若|AO|=|AP|，則2

2

=

(x-2)2+22

，解得x=4，或x=0（舍去）；
③若|PA|=|PO|，則

(x-2)2+22

=|x|，解得x=2．
綜上可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為以下四個(gè)，
（2

2

，0)，（-2

2

，0)，（2，0），（4，0）．

點(diǎn)評：熟練掌握雙曲線的定義及其性質(zhì)、直線與雙曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到方程組、三角形的面積計(jì)算公式、兩點(diǎn)間的距離公式、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．