Question

設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程，并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀；
（2）點(diǎn)P為當(dāng)m=

1

4

時(shí)軌跡E上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)N滿足

PN

=2

NQ

，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0，化簡(jiǎn)得mx²+y²-1=0．再根據(jù)m的取值范圍進(jìn)行討論，即可得到各種情況下軌跡E的方程所表示的曲線的類型；
（2）當(dāng)m=

1

4

時(shí)，軌跡E為橢圓

x2

4

+y²=1．設(shè)N（x，y），P（x₀，y₀），利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，結(jié)合

PN

=2

NQ

算出   P的坐標(biāo)為（3x-6，3y），代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)即得所求點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：（1）∵

a

=（mx，y+1），

b

=（x，y-1），且

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即mx²+（y+1）（y-1）=mx²+y²-1=0．
即軌跡E的方程為mx²+y²-1=0
①當(dāng)m=0時(shí)，方程表示兩直線，方程為y=±1；
②當(dāng)m=1時(shí)，方程為x²+y²=1，表示的是單位圓；
③當(dāng)m＞0且m≠1時(shí)，方程為mx²+y²=1，表示的是橢圓
0＜m＜1時(shí)，該橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，m＞1時(shí)，該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上；
④當(dāng)m＜0時(shí)，方程mx²+y²=1，表示的是焦點(diǎn)在y軸的雙曲線．
（2）設(shè)N（x，y），P（x₀，y₀）
可得

PN

=（x-x₀，y-y₀），

NQ

=（3-x，-y）
∵

PN

=2

NQ

，
∴

x-x0=6-2x y-y0=-2y

，可得

x0=3x-6  y0=3y

，
當(dāng)m=

1

4

時(shí)，軌跡E為

x2

4

+y²=1，將點(diǎn)P（x₀，y₀）代入得

(3x-6)2

4

+9y²=1
所以點(diǎn)N的軌跡方程為

(3x-6)2

4

+9y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程并討論所得曲線的形狀．著重考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、圓錐曲線的定義與概念和軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．