Question

因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車(chē)上的某種液體泄漏到一漁塘中．為了治污，根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a•f（x），其中f(x)=

16 8-x -1，(0≤x≤4) 5- 1 2 x，(4＜x≤10)

．
若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，
當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：

2

取1.4）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a=4，得y=a•f（x），即y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；令y≥4，解得x的取值范圍．
（Ⅱ）要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，即當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×(5-

1

2

x)+a(

16

8-(x-6)

-1)≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍=4，所以y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；
則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4，
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8；
綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．
（Ⅱ）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×(5-

1

2

x)+a(

16

8-(x-6)

-1)=10-x+

16a

14-x

-a=(14-x)+

16a

14-x

-a-4，
因?yàn)椋?4-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以，4

a

∈[4，8]，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4

a

時(shí)，y有最小值為8

a

-a-4；
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，所以a的最小值為24-16

2

≈1.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)分區(qū)間考慮函數(shù)的解析式，是易錯(cuò)題．