Question

已知點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A、B分別在x軸負(fù)半軸和y軸上，且•=0，點(diǎn)C滿足=2，當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）且斜率為k的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)M、N，若D（-1，0），且•＞0，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)且•=0，點(diǎn)C滿足=2建立方程組，解之即可求出曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l方程為y=k（x-1），然后根據(jù)曲線聯(lián)立方程組，根據(jù)直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)M、N則△＞0求出k的范圍，然后設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則=（x₁+1，y₁） =（x₂+1，y₂），根據(jù)•＞0建立不等式，解之即可．
解答：解：（1）設(shè)A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
則=（x-a，y），=（a，-b），=（3，-b）
∵，
∴（4分）
消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲線E的方程為y²=-4x（x＜0）（6分）
（2）設(shè)直線l方程為y=k（x-1）（7分）
由得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）
∵直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)M、N∴△＞0
即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則=（x₁+1，y₁） =（x₂+1，y₂）
∴
∴•=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=＞0
解得k²＞②（11分）
由①②聯(lián)立解得：＜k²＜1
∴-1＜k＜-或＜k＜1（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，函數(shù)與方程的思想，屬于一道綜合題．