Question

【題目】如圖所示，是村里一個(gè)小湖的一角，其中. 為了給村民營造豐富的休閑環(huán)境，村委會(huì)決定在直線湖岸與上分別建觀光長廊與，其中是寬長廊，造價(jià)是元/米；是窄長廊，造價(jià)是元/米；兩段長廊的總造價(jià)預(yù)算為萬元（恰好都用完）；同時(shí)，在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)表演舞臺(tái)，并建水上通道（表演舞臺(tái)的大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是元/米.

（1）若規(guī)劃寬長廊與窄長廊的長度相等，則水上通道的總造價(jià)需多少萬元？

（2）如何設(shè)計(jì)才能使得水上通道的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）水上通道AD的總造價(jià)為萬元；

【解析】

試題分析：

（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD，在中，由余弦定理求得AD的長，即可得到所求造價(jià)；（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長廊的總造價(jià)為，運(yùn)用余弦定理求得BC，再在與中，由余弦定理及，求得的解析式，化簡整理，運(yùn)用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值；也可用坐標(biāo)求解．

試題解析：

（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），則寬長廊AB造價(jià)為8x萬元，窄長廊AC造價(jià)為4x 萬元，

故兩段長廊的總造價(jià)為12x萬元，所以12x=12，得x=1，

又，

是邊長為1的正三角形，

又點(diǎn)D為線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以,

在中，由余弦定理得

，

，

又水上通道的造價(jià)是6萬元/百米，所以水上通道的總造價(jià)為萬元.

（2）法一：設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），

則兩段長廊的總造價(jià)為，

即，在中，由余弦定理得

在與中，由余弦定理及，得

,

又，得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，AD有最小值，

故總造價(jià)有最小值萬元，此時(shí)，

即當(dāng)寬長廊AB為百米（75米）、窄長廊AC為百米（150米）時(shí)，

所以水上通道AD有最低總造價(jià)為萬元.

法二：由，平方得，以下略.

法三：以A為原點(diǎn)，AP為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

求出D的坐標(biāo)得，以下略.