Question

設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R，與軸交點(diǎn)為T，且Q為線段RT的中點(diǎn)，試求弦PR長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

（1）.（2）直線PQ垂直于x軸時(shí)|PR|取最小值.

試題分析：（1）確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定的值.利用，可得，
再根據(jù)P、Q在拋物線上，得到，集合已知條件^，得4p²＝4，p=1．
（2）設(shè)直線PQ過點(diǎn)，且方程為，應(yīng)用聯(lián)立方程組
消去x得y² 2my 2a＝0，利用韋達(dá)定理，建立的方程組，確定得到，利用“弦長(zhǎng)公式”求解.
試題解析： （1）∵　·＝0，則x₁x₂＋y₁y₂＝0，             1分
又P、Q在拋物線上，故y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，故得
＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝ 4p²
            3分
又|x₁x₂|＝4，故得4p²＝4，p=1．
所以拋物線的方程為:       5分
（2）設(shè)直線PQ過點(diǎn)E(a,0）且方程為x＝my＋a
聯(lián)立方程組
消去x得y² 2my 2a＝0
∴　     ①　                7分
設(shè)直線PR與x軸交于點(diǎn)M(b,0)，則可設(shè)直線PR方程為x＝ny＋b,并設(shè)R(x₃,y₃)，
同理可知  ②　　             9分
由①、②可得 
由題意，Q為線段RT的中點(diǎn)，∴　y₃＝2y₂，∴b=2a
又由（Ⅰ）知， y₁y₂＝ 4，代入①，可得
2a＝ 4 　　∴　　a＝2．故b＝4．           11分
∴
∴.
當(dāng)n=0，即直線PQ垂直于x軸時(shí)|PR|取最小值          14分