Question

已知P是拋物線(xiàn)y=2x²+1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，-1），若點(diǎn)M在直線(xiàn)PA上，同時(shí)滿(mǎn)足：①點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方； ②|

PM

|-2|

MA

|=0．則點(diǎn)M的軌跡方程是

y=6x²或y=-2x²-3

．

Answer 1

分析：設(shè)出P（x₀，y₀），M（x，y），利用條件：①點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方； ②|

PM

|-2|

MA

|=0．得到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)間的關(guān)系式，由此關(guān)系式代入點(diǎn)P所滿(mǎn)足的方程y₀=2x₀²+1，消去x₀和y₀，轉(zhuǎn)化為x、y的方程．

解答：解：由題意，設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），
∵點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方，|

PM

|-2|

MA

|=0．
當(dāng)點(diǎn)M在PA之間，則x=

x0

3

，y=

y0-1

3

∴x₀=3x，y₀=3y+1
∵P是拋物線(xiàn)y=2x²+1上的動(dòng)點(diǎn)，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=6x²
當(dāng)點(diǎn)M在PA延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，A為PM的中點(diǎn)，∴x₀=-x，y₀=-2-y
∵P是拋物線(xiàn)y=2x²+1上的動(dòng)點(diǎn)，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=-2x²-3
故答案為y=6x²或y=-2x²-3

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)的軌跡問(wèn)題，主要考查用代入法求軌跡方程，關(guān)鍵是理解題意，將向量條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，應(yīng)特別注意分類(lèi)討論，否則會(huì)漏解．．