(Ⅰ)求證:DE∥平面PBC;
(Ⅱ)求證:DE⊥PC;
(Ⅲ)求直線(xiàn)PD與平面BCDE所成角的正弦值.
證明:(Ⅰ)∵E是AB的中點(diǎn),∴BE=AB,
又∵CD∥AB,DC=AB,∴DC∥EB且DC=EB,
∴四邊形DCBE是平行四邊形,∴ED∥BC.
∵DE面PBC,BE面PBC,∴DE∥平面PBC.
(Ⅱ)連接EC,據(jù)(Ⅰ)知,CD∥AE且CD=AE,
∴四邊形ADCE為平行四邊形,
又AD=DC,∴四邊形ADCE是菱形.
連接AC交DE于F,連接PF,
則DE⊥AC,DE⊥PF,
∵AC∩PF=F,∴DE⊥平面PFC,
又∵PC平面PFC,∴DE⊥PC.
(Ⅲ)∵DE⊥平面PFC,DE平面BCDE,
∴平面PFC⊥平面BCDE,且兩平面交于A(yíng)C.
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H,則PH⊥平面BCDE,連接DH,則DH為PD在平面BCDE上的射影,∴∠PDH就是直線(xiàn)PD與平面BCDE所成的角.
由(Ⅱ)知,∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角,
∴∠PFC=120°,∴∠PFA=60°.
設(shè)AD=AE=BC=DE=a,則AF=PF=a,
在Rt△PHF中,PH=PF·sin60°=a.
∴在Rt△PHD中, sin∠PDH=.
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