Question

在一個單位中普查某種疾病，600個人去驗血，對這些人的血的化驗可以用兩種方法進(jìn)行：
方法一：每個人的血分別化驗，這時需要化驗600次；
方法二：把每個人的血樣分成兩份，取k（k≥2）個人的血樣各一份混在一起進(jìn)行化驗，如果結(jié)果是陰性的，那么對這k個人只作一次檢驗就夠了；如果結(jié)果陽性的，那么再對這k個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這k個人共需作k+1次化驗．
假定對所有的人來說，化驗結(jié)果是陽性的概率是0.1，而且這些人的反應(yīng)是獨立的．將每個人的血樣所需的檢驗次數(shù)作為隨機(jī)變量ξ．
（1）寫出方法二中隨機(jī)變量ξ的分布列，并求數(shù)學(xué)期望Eξ（用k表示）；
（2）現(xiàn)有方法一和方法二中k分別取3、4、5共四種方案，請判斷哪種方案最好，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：取0.9³=0.729，0.9⁴=0.656，0.9⁵=0.591）

Answer 1

【答案】分析：（1）對于方法二，當(dāng)k個人一組的混合血液呈陰性時，可以認(rèn)為每個人需要化驗的次數(shù)為次；當(dāng)k個人一組的混合血液呈陽性時，可以認(rèn)為每個人需要化驗的次驗為+1次，然后分別求出相應(yīng)的概率，利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
（2）對方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1，然后計算出方法二中k分別取3、4、5時的數(shù)學(xué)期望，比較四種方案即可判定哪種方案最好．
解答：解：（1）對于方法二，k個人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為0.9^k，呈陽性結(jié)果的概率為1-0.9^k．
當(dāng)k個人一組的混合血液呈陰性時，可以認(rèn)為每個人需要化驗的次數(shù)為次；當(dāng)k個人一組的混合血液呈陽性時，可以認(rèn)為每個人需要化驗的次驗為+1次．
所以（3分）

ξ		1+
P	0.9k	1-0.9k

∴．（5分）
（2）對方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1．（6分）
當(dāng)k=3時，；
當(dāng)k=4時，；
當(dāng)k=5時，．（9分）
比較知k=4時的方案最好（10分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時考查了離散型變量的數(shù)學(xué)期望以及計算能力，屬于中檔題．