Question

【題目】如圖，點在以為直徑的圓上， 垂直于圓所在的平面， 為的重心.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證平面平面，只需要證得平面即可，有條件可得， ；

（2）以點為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量求余弦值即可.

試題解析：

（1）如圖，延長交于，

∵為的重心，∴為的中點，

∵為的中點，∴，

∵是圓的直徑，∴，∴，

∵平面平面，∴，

又平面平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）如圖，以點為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，

則.

平面即為平面，設平面的一個法向量為，

則，令，得，

過點作于點，

由等面積法可得，

∴，

∴平面的一個法向量為，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.