設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,若{an+1-an}是等差數(shù)列,{bn+1-bn}是等比數(shù)列.
(1)分別求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在k∈N*,使ak-bk∈(0,
12
),若存在,求滿足條件的所有k值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)利用{an+1-an}是等差數(shù)列,知其公差為1,可得其通項(xiàng),利用{bn+1-bn}是等比數(shù)列,知其公比,可得數(shù)列的通項(xiàng),利用疊加法,即可求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)假設(shè)k∈N*存在,使ak-bk=
k2-7k+14
2
-23-k
∈(0,
1
2
),結(jié)合整數(shù)的性質(zhì),即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,a2-a1=-2,a3-a2=-1
∵{an+1-an}是等差數(shù)列,∴知其公差為1,
故an+1-an=-2+(n-1)•1=n-3                …(1分)
∵b2-b1=-2,b3-b2=-1,{bn+1-bn}是等比數(shù)列
∴其公比為
1
2
,
故bn+1-bn=-2•(
1
2
)n-1
                               …(2分)
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)•(-2)+
(n-1)(n-2)
2
•1
+6=
n2-7n+18
2
 …(4分)
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=
-2[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
+6
=2+23-n…(6分)
(2)假設(shè)k∈N*存在,使ak-bk=
k2-7k+14
2
-23-k
∈(0,
1
2
),
則0<
k2-7k+14
2
-23-k
1
2

即k2-7k+13<24-k<k2-7k+14    
∵k2-7k+13與k2-7k+14是相鄰整數(shù)
∴24-k∉Z,這與24-k∈Z矛盾,所以滿足條件的k不存在    …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和是Sn,存在常數(shù)A,B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立.
(1)設(shè)A=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若p<q,且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,求p,q的值.
(3)設(shè)A>0,A≠1,且
an
an+1
≤M
對(duì)任意正整數(shù)n都成立,求M的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,4an+1=4an+2
4an+1
+1
,令bn=
4an+1

(1)試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式Tn
bn+1
2
log2(a+1)
對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)比較bnbn+1bn+1bn的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3…,其中A,B為常數(shù).?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=5n-4
an=5n-4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn
(1)證明:當(dāng)b=2時(shí),{an-n•2n-1}是等比數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=an+b(n∈N*,a>0).?dāng)?shù)列{bn}定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(1)若a=2,b=-3,求b10;
(2)若a=2,b=-1,求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案