設函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數(shù)),
(1)若f(-1)=0且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立,求f(x)表達式;
(2)在(1)的條件下,若g(x)=f(x)-kx,在區(qū)間[-2,2]上是單調函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,,當x∈[-2,2]且x≠0時,求F(x)的值域.
【答案】分析:(1)討論a=0的情況,然后根據(jù)f(-1)=0且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立,建立方程組,解之即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調性建立不等關系,即對稱軸不在區(qū)間[-2,2]上,解之即可求出k的取值范圍;
(3)分別求出每一段函數(shù)的值域,最后求并集即可求出F(x)的值域.
解答:解:(1)當a=0時,f(x)=bx+1,當f(-1)=0,即-b+1=0時,f(x)=x+1,不符合題意.
所以a≠0.
∵f(-1)=0且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立
∴點(-1,0)為拋物線的頂點且開口向上.
解得
∴f(x)=x2+2x+1.
(2)g(x)=x2+(2-k)x+1
依題意有:
∴k≤-2或k≥6
(3)在[-2,0)上,F(xiàn)(x)=-x2-2x-1=-(x+1)2∈[-1,0]
在(0,2]上,F(xiàn)(x)=(x+1)2∈(1,9]
∴F(x)值域為[-1,0]∪(1,9].
點評:本題主要考查了函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)解析式、單調性和值域等有關問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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設函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個數(shù)中任取一個數(shù),b是從2,3,4,5四個數(shù)中任取一個數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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設函數(shù)f(x)=ax+b的圖象經過點(1,7),又其反函數(shù)的圖象經過點(4,0),求函數(shù)的解析式,并求f(-2)、f(
12
)的值.

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(2009•楊浦區(qū)一模)(文)設函數(shù)f(x)=ax+1-2(a>1)的反函數(shù)為y=f-1(x),則f-1(-1)=
-1
-1

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精英家教網設函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是( �。�
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20
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