Question

已知二項(xiàng)式的展開式中，
（ I）求展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)；
（ II）如果第3r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求r的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出二項(xiàng)式的展開式的特征項(xiàng)，當(dāng)x的指數(shù)是4時(shí)，把4代入整理出k的值，就得到這一項(xiàng)的系數(shù)的值．
（II）根據(jù)上一問寫出的特征項(xiàng)和第3r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，表示出一個(gè)關(guān)于r的方程，解方程即可．
解答：解：（ I）寫出展開式的特征項(xiàng)，
第k+1項(xiàng)為
令，解得k=4，
∴展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)為（-2）⁴C₁₀⁴=3360
（ II）∵第3r項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₁₀^3r-1，第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C₁₀^r+1
∴C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10
∴r=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，這是一個(gè)典型題目，解題的關(guān)鍵是寫出展開式的特征項(xiàng)，利用特征項(xiàng)的特點(diǎn)解決問題，注意代數(shù)式的整理，特別是當(dāng)分母上帶有變量時(shí)，注意整理．