函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2

（1）求f(
1
2
)的值．
（2）數(shù)列{an} 滿足：an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明．
分析：（1）在給出的等式中，取x=
1
2
，整理后即可得到答案；
（2）在給出等式中取x=
1
n
，得到f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
，把an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)倒序后兩式相加求出an，然后判斷an+1-an是否為常數(shù)．
解答：解：（1）由f（x）+f（1-x）=
1
2
，
令x=
1
2
，得f(
1
2
)+f(
1
2
)=
1
2
，∴f(
1
2
)=
1
4

（2）數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
事實(shí)上，令x=
1
n
，得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
，
即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
，an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
又an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)，
兩式相加得：
2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(1)+f(0)]=
n+1
2
，
∴an=
n+1
4
，n∈N*，
則an+1-an=
(n+1)+1
4
-
n+1
4
=
1
4
．
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答的關(guān)鍵是利用倒序相加法求得an，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時(shí)，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問(wèn)：在-2≤x≤2時(shí)，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=xf（x）對(duì)任意x∈[2，5]時(shí)，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足以下條件：
①對(duì)任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對(duì)任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時(shí)，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問(wèn)：在-n≤x≤n時(shí)（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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