Question

注：此題選A題考生做①②小題，選B題考生做①②③小題.
已知圓C：，直線.
①求證：對(duì)任意，直線與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②當(dāng)m=1時(shí)，直線與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|MN|；
③設(shè)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求的傾斜角.

Answer 1

①見解析；②；③

試題分析：①法一：證明用點(diǎn)到直線的距離恒小于圓的半徑，（此法計(jì)算量較大，故通常不選用此方法）。法二：證直線恒過定點(diǎn)，且此頂點(diǎn)在圓內(nèi)。②根據(jù)圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直平分弦，應(yīng)先求圓心到直線的距離再用勾股定理求弦長(zhǎng)。③根據(jù)弦長(zhǎng)可求圓心到直線的距離，即可求出直線的斜率，根據(jù)斜率可求得傾斜角。
試題解析：解：①∵直線恒過點(diǎn)，又∵點(diǎn)在圓C：
內(nèi)，∴對(duì)，直線與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（A：7分，B：5分）
②當(dāng)m=1時(shí)，直線；圓心C(0,1)到直線的距離等于，又∵圓C的半徑為，∴弦長(zhǎng)|MN| ；（A：14分，B：9分）
③∵，∴，又∵圓C的半徑為，∴圓心C(0,1)到直線的距離等于，∴,∴,∴,∴直線的傾斜角為。（B：14分）