Question

（04年北京卷理）（14分）

如圖，過拋物線y²=2px (p>0) 上一定點P(x₀, y₀) (y₀>0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

（I）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離；

（II）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，

求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數。

 

Answer 1

解析：（I）當y=時，x=，

又拋物線y²=2px的準線方程為x=－，

由拋物線定義得，所以距離為.

（II）設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB.

由       =2px₁，=2px₀

相減得    （y₁－y₀）(y₁+y₀)=2p(x₁－x₀)

故       k_PA=  （x₁≠x₀）

同理可得  k_PB=（x₂≠x₀）

由PA，PB傾斜角互補知k_PA=－k_PB，

即       =－，

所以     y₁+y₂=－2y₀，

故      

設直線AB的斜率為k_AB。

由     =2px₂，   =2px₁

相減得    （y₂－y₁）(y₂+y₁)=2p(x₂－x₁)，

所以     k_AB=（x₁≠x₂）

將 y₁+y₂=－2y₀   (y₀>0 )代入得

k_AB==－，所以k_AB是非零常數。