已知函數(shù)f(x)=
x
2x+1
，x∈(0，+∞)，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an）；數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=
1
1-2f(Sn)
，其中Sn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，n=1，2，3…
（1）求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Tn=
1
a1b1
+
1
a2b2
+…+
1
anbn
，證明Tn＜5．
分析：（1）由f（x）=
x
2x+1
，知an+1=f(an) =
an
2an+1
，所以
1
an+1
=
1
an
-2，an=
1
2n-1
(n∈N*)．由bn+1=
1
1-2f(Sn)
，知bn+1=
1
1-
2Sn
2Sn+1
=2Sn+1，由此能求出數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
（2）依題意Tn=2+
1
2
[3×1+5×
1
3
+7×(
1
3
)2+…+(2n-1)×(
1
3
)n-2]，令An=3×1+5×
1
3
+7×(
1
3
)2+…+(2n-1)×(
1
3
)n-2，由錯(cuò)位相減法能求出An= 6-
3
2
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2，所以Tn=2+
1
2
[6-
3
2
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2]=5-
3
4
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2＜5．
解答：解：（1）∵f（x）=
x
2x+1
，∴an+1=f(an) =
an
2an+1
，
∴
1
an+1
=
1
an
+2，
∴{
1
an
}是以
1
a1
=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴
1
an
=1+(n-1)×2，
∴an=
1
2n-1
(n∈N*)，又∵f(x)=
x
2x+1
，bn+1=
1
1-2f(Sn)
，
∴bn+1=
1
1-
2Sn
2Sn+1
=2Sn+1，
bn+2=2Sn+1+1，
∴bn+2-bn+1=2（Sn+1-Sn），
∴bn+2=3bn+1，∵b1=
1
2
，b2=2S1+1=2，
∴{bn}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，公比為3，
∴bn=
1
2
，n=1
2•3n-2，n≥2
．
（2）證明：依題意
Tn=2+
1
2
[3×1+5×
1
3
+7×(
1
3
)2+…+(2n-1)×(
1
3
)n-2]，
令An=3×1+5×
1
3
+7×(
1
3
)2+…+(2n-1)×(
1
3
)n-2，①
1
3
An=3×
1
3
+5×(
1
3
)2+7×(
1
3
)3+…+(2n-1)×(
1
3
)n-1，②
①-②，得
2
3
An=3×1+2[
1
3
+(
1
3
)2+(
1
3
)3+…+(
1
3
)n-2]-(2n-1)•(
1
3
)n-1
=3+2×
1
3
[1-(
1
3
)n-2]
1-
1
3
-(2n-1)×(
1
3
)n-1
∴An= 6-
3
2
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2，
∴Tn=2+
1
2
[6-
3
2
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2]
=5-
3
4
×(
1
3
)n-2-
2n-1
2
×(
1
3
)n-2＜5．
即Tn＜5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，在計(jì)算過(guò)程中容易出錯(cuò)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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