【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形,B,E,F(xiàn)分別是AA1 , CC1的中點,且BE⊥B1F.
(1)求證:B1F⊥EC1
(2)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:分別取BC1,BC中點D,G,連結(jié)ED,AG,

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且底面是正三角形,

∴AG⊥面BCC1B1,

又∵E,D都是中點,∴ED∥AG,則ED⊥面BCC1B1,可得ED⊥B1F,

已知BE⊥B1F,且BE∩ED=E,∴B1F⊥面BEC1,則B1F⊥EC1


(2)解:由(Ⅰ)知B1F⊥面BEC1,∴B1F⊥BC1,則△B1C1F∽△BB1C1

,設(shè)BB1=a,則C1F= ,代入得a= ,

以O(shè)為原點,OE為x軸,OC為y軸,過O作平面ABC的垂線為z軸,建立如圖坐標(biāo)系O﹣xyz,

得C(0,2,0),B( ,0,0),E(0,﹣2, ),

C1(0,2,4 ),B1 ,0, ),F(xiàn)(0,2,2 ).

∵B1F⊥面BEC1,∴平面BEC1的一個法向量為

設(shè)平面BEC的一個法向量為 ,

,取x= ,得y=3,z=

∴cos< >= = =

∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值為


【解析】(1)分別取BC1 , BC中點D,G,連結(jié)ED,AG,推導(dǎo)出AG⊥面BCC1B1 , 從而ED⊥B1F,BE⊥B1F,由此能證明B1F⊥面BEC1 , 進(jìn)一步得到B1F⊥EC1;(2)以O(shè)為原點,OE為x軸,OC為y軸,過O作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)y= 的定義域為A,函數(shù)y=ln(1﹣x)的定義域為B,則A∩B=( 。
A.(1,2)
B.(1,2]
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D.[﹣2,1)

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(1)求直線CE與直線PD所成角的余弦值;
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【題目】設(shè)正數(shù)x,y滿足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,則實數(shù)a的取值范圍是(
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

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【題目】已知曲線C1在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,有曲線C2:ρ=2cosθ﹣4sinθ
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(2)求曲線C1和C2兩交點之間的距離.

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(1)將2×2列聯(lián)表補充完整.

性別

出生時間

總計

晚上

白天

男嬰

女嬰

總計

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時間有關(guān)系?

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(Ⅰ)能否有90%的把握認(rèn)為“G20通”與所從事工作(翻譯聯(lián)絡(luò)員或駕駛員)有關(guān)?
(Ⅱ)從參加測試的成績在80分以上(含80分)的駕駛員中隨機抽取4人,4人中“G20通”的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

附參考公式與數(shù)據(jù):

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