Question

 

設(shè)數(shù)列的前項和為，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列為“科比數(shù)列”．

（Ⅰ）已知等差數(shù)列的首項為1，公差不為零，若為“科比數(shù)列”，求的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的各項都是正數(shù)，前項和為，若對任意 都成立，試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”？并說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因為，則

，即.       （2分）

整理得，.                                       （3分）

因為對任意正整數(shù)上式恒成立，則，解得.            （5分）

故數(shù)列的通項公式是.                                           （6分）

（Ⅱ）由已知，當(dāng)時，.因為，所以.                 （7分）

 當(dāng)時，，.

兩式相減，得.

因為，所以=.                                     （9分）

顯然適合上式，所以當(dāng)時，.

于是.

因為，則，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.

所以不為常數(shù)，故數(shù)列不是“科比數(shù)列”.          （13分）