Question

已知橢圓 +y²=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

解：（1）∵a²=2,b²=1,

∴c=1,F(-1,0),l:x=-2

∵圓過(guò)點(diǎn)O、F，

∴圓心M在直線x=上.

設(shè)M（，t），則圓半徑

r=|（）-（-2）|=.

由|OM|=r，得，

解得t=±.

∴所求圓的方程為（x+）²+（y±）²=.

(2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),

代入+y²=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0.

∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，

∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根.

記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），

則x₁+x₂=，

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y₀=(x-x₀).

令y=0，得x_G=x₀+ky₀=.

∵k≠0,∴-12＜x_G＜0,

∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（，0）.